Gabarito disponível
Na superfície modelada pela função z = f (x, y) = x² + 3y² – 4x + 4y – 5, com – 10 ≤ z ≤ 10, necessita-se construir um plano tangente, paralelo ao plano de equação 8x – 4y – 2z + 5 = 0. A equação do plano a ser construído é:
Resolução comentada
Plano tangente paralelo a um plano dado: iguala-se o vetor normal (f_x, f_y, –1) ao vetor (8, –4, –2).
O vetor normal ao plano tangente é (2x–4, 6y+4, –1) e deve ser proporcional a (8, –4, –2), com razão 1/2. Logo 2x–4=4, então x=4, e 6y+4=–2, então y=–1. Assim z=16+3–16–4–5=–6, que está no intervalo permitido. O plano é 8(x–4) – 4(y+1) – 2(z+6)=0, ou seja, 4x – 2y – z – 24 = 0.
Análise das alternativas
As demais alternativas têm vetor normal que não é proporcional a (8, –4, –2), ou termo independente incompatível com o ponto de tangência (4, –1, –6). Assim, não são planos tangentes paralelos ao dado.
Referência: Cálculo de várias variáveis: plano tangente e vetor normal à superfície z = f(x,y).
Resolução comentada do VaiConcursos.