Gabarito disponível
Seja f : D → ℝ uma função onde D = {x ∈ ℝ | x ≠ 0 e x ≠ 1} e que satisfaz a equação f((x − 1)/x) + f(x) − x = 2. O valor de f(2) é:
Resolução comentada
Equação funcional resolvida por substituições cíclicas de x.
A equação é f((x−1)/x) + f(x) = x + 2. Para x = 2: f(1/2) + f(2) = 4. Para x = 1/2: f(−1) + f(1/2) = 5/2. Para x = −1: f(2) + f(−1) = 1. Somando as três, 2[f(2) + f(1/2) + f(−1)] = 15/2, então a soma vale 15/4. Assim f(2) = 15/4 − 5/2 = 5/4.
Análise das alternativas
Os valores 1/4, 1/2, 1 e 7/2 não satisfazem o sistema de três equações. A correta é A.
Referência: Equações funcionais: substituições que fecham um ciclo de três valores.
Resolução comentada do VaiConcursos.