Gabarito disponível
Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de Maria ao final do torneio é p/q, com p e q primos entre si, o valor de p + q é:
Resolução comentada
Probabilidade de José terminar à frente de Maria sabendo que ele a venceu na partida entre eles.
José começa com 1 ponto e Maria com 0, e cada um joga mais 4 partidas contra os outros, com X, Y ~ Bin(4; 1/2) independentes. José fica à frente se 1 + X > Y, isto é, X ≥ Y. Como X − Y + 4 ~ Bin(8; 1/2), a condição é S ≥ 4, com P = (1 + C(8,4)/256)/2 = (1 + 70/256)/2 = 163/256. Logo p + q = 163 + 256 = 419.
Análise das alternativas
As demais somas (5, 19, 257, 4097) não correspondem à fração irredutível 163/256. A correta é D.
Referência: Probabilidade: distribuição binomial e simetria.
Resolução comentada do VaiConcursos.