Gabarito disponível
Considere o sistema de equações:
log(−2x + 3y + k) = log(3) + log(z)
logₓ(1 − y) = 1
x + z = 1
onde x, y, e z são variáveis e k é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:
log(−2x + 3y + k) = log(3) + log(z)
logₓ(1 − y) = 1
x + z = 1
onde x, y, e z são variáveis e k é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:
Resolução comentada
Condições de existência dos logaritmos determinam o intervalo de k.
Da 2ª equação, 1 − y = x, com 0 < x ≠ 1 (base) e y 0 exige x < 1, logo 0 < x < 1. A 1ª equação dá −2x + 3y + k = 3z. Substituindo y = 1 − x e z = 1 − x, temos −2x + 3 − 3x + k = 3 − 3x, o que resulta em k = 2x. Como 0 < x < 1, o sistema tem solução se 0 < k < 2.
Análise das alternativas
As demais faixas (k < −2, −2 < k < 0, 2 < k 4) levariam a x ≤ 0 ou x ≥ 1, o que viola a base do logaritmo ou a condição z > 0. A correta é C.
Referência: Logaritmos: condições de existência (base positiva e diferente de 1, logaritmando positivo).
Resolução comentada do VaiConcursos.