Gabarito disponível
Seja a equação
7⁴ˣ − 10 · 7³ˣ + 17 · 7²ˣ + 40 · 7ˣ = 12 · 7
Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:
7⁴ˣ − 10 · 7³ˣ + 17 · 7²ˣ + 40 · 7ˣ = 12 · 7
Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:
Resolução comentada
Substituição t = 7^x gera polinômio de grau 4 cujas raízes dão lados que não formam polígono.
Com t = 7^x, a equação fica t⁴ − 10t³ + 17t² + 40t − 84 = 0, cujas raízes são t = 2, 3, 7 e −2. Só as positivas servem: x = log₇2 ≈ 0,356, x = log₇3 ≈ 0,565 e x = 1. Os três segmentos medem 0,356, 0,565 e 1. Como 0,356 + 0,565 < 1, a desigualdade triangular falha, e três segmentos é o mínimo para um polígono, então nenhum polígono pode ser construído.
Análise das alternativas
Triângulo (A e B) é impossível pela desigualdade triangular. Quadrilátero e pentágono (C e D) exigiriam 4 e 5 segmentos, mas há apenas 3. A correta é E.
Referência: Equações exponenciais e desigualdade triangular.
Resolução comentada do VaiConcursos.