Questão 42 — Progressão Geométrica e Teorema de Pitágoras (Matemática) — ITA · Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) 2019

Matemática Progressão Geométrica e Teorema de Pitágoras

ITA 2019 Médio

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) · Vestibular 2020 — 1ª Fase (Física, Português, Inglês, Matemática e Química)

Gabarito disponível

Sejam a, b e c números reais, a ≠ 0, tais que a² + b² = c². Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k são iguais a

Selecione uma alternativa A) P = 1 e S = 0. B) P = −1 e S = 1. C) P = −1 e S = −1. D) P = −(1 + √5)/2 e S = 0. E) P = (1 + √5)²/4 e S = 0.

Resolução comentada

PG com a² + b² = c².

Com b = ak e c = ak², a² + a²k² = a²k⁴ dá k⁴ − k² − 1 = 0, logo k² = (1+√5)/2 (a raiz negativa de k² não serve). Então k = ±√((1+√5)/2), de modo que S = 0 e P = −k² = −(1+√5)/2.

Análise das alternativas

A, B e C trazem produtos que não resultam de k². E) Calcula k² positivo, que é o produto de k pelo mesmo valor, e não o produto de k positivo por k negativo.

Referência: Progressão geométrica; equação biquadrada.

Resolução comentada do VaiConcursos.