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Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral aₙ é dado por
aₙ = (cos n + i · sen n)/2ⁿ, n = 1, 2, 3, ...
é igual a
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral aₙ é dado por
aₙ = (cos n + i · sen n)/2ⁿ, n = 1, 2, 3, ...
é igual a
Resolução comentada
Parte real de uma série geométrica complexa.
aₙ = (e^i/2)ⁿ, e a soma infinita é z/(1−z) com z = e^i/2. Multiplicando pelo conjugado, a parte real é (cos1/2 − 1/4)/(5/4 − cos 1) = (2cos1 − 1)/(5 − 4cos1).
Análise das alternativas
B dobra o numerador. C, D e E trocam sinais ou termos, o que resulta de erros em |1−z|² = 5/4 − cos 1 e em Re(z − |z|²).
Referência: Série geométrica e números complexos (fórmula de De Moivre).
Resolução comentada do VaiConcursos.