Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere o polinômio p(x) = x³ − mx² + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b ∈ ℝ, da equação p(z) = 0 satisfaz a igualdade a = mb² + nb − 1. Então, a soma dos quadrados das raízes de p(z) = 0 é igual a
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere o polinômio p(x) = x³ − mx² + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b ∈ ℝ, da equação p(z) = 0 satisfaz a igualdade a = mb² + nb − 1. Então, a soma dos quadrados das raízes de p(z) = 0 é igual a
Resolução comentada
Soma dos quadrados das raízes de um cúbico com condição sobre as partes real e imaginária.
Uma raiz real tem b = 0 e então a = −1. Se há raízes complexas a ± bi, da condição para b e −b resulta nb = 0, logo n = 0. De p(−1) = 0 sai m = 3 + n = 3. A soma das raízes é 3, então 2a − 1 = 3 e a = 2, e a = 3b² − 1 dá b = ±1. As raízes são −1 e 2 ± i, e a soma dos quadrados é 1 + 2(4 − 1) = 7. Isso coincide com m² − 2 = 7.
Análise das alternativas
Outras alternativas não satisfazem m = 3 e n = 0 simultaneamente. O caso de três raízes reais (todas −1) contradiz a soma dos produtos dois a dois igual a 1.
Referência: Relações de Girard; números complexos.
Resolução comentada do VaiConcursos.