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Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Seja a um número real satisfazendo 0 < a < π/2. Então, a soma de todos os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação
cos x sen(a + x) = sen a
é igual a
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Seja a um número real satisfazendo 0 < a < π/2. Então, a soma de todos os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação
cos x sen(a + x) = sen a
é igual a
Resolução comentada
Equação cos x · sen(a+x) = sen a em [0, 2π].
Pelo produto em soma, ½[sen(a+2x) + sen a] = sen a, o que dá sen(a+2x) = sen a. Daí a + 2x = a + 2kπ (x = 0, π, 2π) ou a + 2x = π − a + 2kπ (x = π/2 − a e 3π/2 − a, pois 5π/2 − a > 2π). A soma é 3π + 2π − 2a = 5π − 2a.
Análise das alternativas
A, B, C e D erram em contar o número de soluções do segundo ramo ou o coeficiente de a: o ramo da segunda família contribui com −a em cada uma das duas soluções, o que dá −2a.
Referência: Trigonometria: transformação de produto em soma e equações trigonométricas.
Resolução comentada do VaiConcursos.