Gabarito disponível
Seja p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:
I. p(x) é divisível por x² − 4;
II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1;
III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3;
IV. p(−1) = −15/4;
então, p(1) é igual a
I. p(x) é divisível por x² − 4;
II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1;
III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3;
IV. p(−1) = −15/4;
então, p(1) é igual a
Resolução comentada
Polinômio de grau 4 com raízes 2 e −2 e Girard.
Se p é divisível por x² − 4, as raízes 2 e −2 somam 0, então as outras duas, r e s, somam 1. O produto das raízes é −4rs = 3, logo rs = −3/4. Assim p = a(x²−4)(x²−x−3/4). De p(−1) = a(−3)(5/4) = −15/4 sai a = 1. Então p(1) = (−3)(−3/4) = 9/4.
Análise das alternativas
As demais alternativas não resultam de a = 1 e da fatoração acima; vêm de erros de sinal em Girard ou do valor de a.
Referência: Relações de Girard; divisibilidade de polinômios.
Resolução comentada do VaiConcursos.