Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Dado a ∈ ℝ, defina p = a + a² e q = a + a³ e considere as seguintes afirmações:
I. se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. se p e q são racionais, então a é racional.
III. se q é irracional, então p é irracional.
É(são) VERDADEIRA(S)
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Dado a ∈ ℝ, defina p = a + a² e q = a + a³ e considere as seguintes afirmações:
I. se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. se p e q são racionais, então a é racional.
III. se q é irracional, então p é irracional.
É(são) VERDADEIRA(S)
Resolução comentada
Racionalidade de a, a + a² e a + a³.
I) É a contrapositiva de 'a racional ⇒ p e q racionais', que é verdadeira. II) Como a² = p − a, vale a³ = ap − p + a, e portanto q = a(p+2) − p, o que dá a = (p+q)/(p+2). Como p + 2 = a² + a + 2 > 0 para qualquer real, a é racional se p e q forem racionais.
Análise das alternativas
III) Falsa: com a = (√5−1)/2 tem-se p = 1 (racional), mas q = 3a − 1 (irracional). Então q irracional não implica p irracional. Logo D e E estão erradas, e A e B estão incompletas.
Referência: Números racionais e irracionais.
Resolução comentada do VaiConcursos.