Questão 53 — Geometria Espacial — Poliedros e Relação de Euler (Matemática) — ITA · Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) 2019

Matemática Geometria Espacial — Poliedros e Relação de Euler

ITA 2019 Médio

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) · Vestibular 2020 — 1ª Fase (Física, Português, Inglês, Matemática e Química)

Gabarito disponível

Considere as seguintes afirmações:
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2160°.
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
É(são) VERDADEIRA(S)

Selecione uma alternativa A) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas I e II. E) apenas II e III.

Resolução comentada

Relação de Euler e soma dos ângulos das faces de poliedros.

II) Com F = 10 e A = 16, a relação de Euler dá V = 2 + A − F = 8, e a soma dos ângulos das faces é (V − 2)·360° = 6 · 360° = 2160°, o que é verdadeiro.

Análise das alternativas

I) Com 16 faces quadrangulares, A = 32, mas V = 18 só vale para poliedros eulerianos. Um poliedro não convexo (como um toroidal) pode ter outro número de vértices, e o enunciado diz 'todo'. III) Com 15 faces, 2A deve ser ≥ 3F, ou seja, 44 ≥ 45, o que é falso. Logo A, C, D e E estão erradas.

Referência: Teorema de Euler: V − A + F = 2; soma dos ângulos = (V−2)·360°.

Resolução comentada do VaiConcursos.