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Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere o conjunto M(n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n×n, com exatamente k elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L ∈ M(3, 1) e R ∈ M(4, 2), a probabilidade de que L² = 0 e R² = 0 é igual a
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere o conjunto M(n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n×n, com exatamente k elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L ∈ M(3, 1) e R ∈ M(4, 2), a probabilidade de que L² = 0 e R² = 0 é igual a
Resolução comentada
Probabilidade de L² = 0 e R² = 0 para matrizes 0-1 com 1 e 2 elementos iguais a 1.
Em M(3,1) há 9 matrizes, e L² = 0 exceto quando o 1 está na diagonal (3 casos), então P = 6/9 = 2/3. Em M(4,2) há C(16,2) = 120 matrizes. Para R² = 0 os dois 1s ficam fora da diagonal (C(12,2) = 66 pares), e retiram-se os pares encadeados (a,b),(b,d), que são 36 − 6 = 30. Sobram 36, e P = 36/120 = 3/10. A probabilidade conjunta é 2/3 · 3/10 = 1/5.
Análise das alternativas
A, C, D e E não resultam da contagem acima. Os erros típicos são esquecer a diagonal ou contar duas vezes os pares (a,b),(b,a).
Referência: Análise combinatória; probabilidade; produto de matrizes.
Resolução comentada do VaiConcursos.