Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguintes afirmações:
I. Sejam π₁, π₂ e π₃ três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se r ∩ s ≠ ∅ então r ∩ s ∩ t ≠ ∅.
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano π são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com s e com t.
É(são) VERDADEIRA(S)
Notações
ℝ : conjunto dos números reais.
ℕ = {1, 2, 3, ..., }: conjunto dos números naturais.
∅ : conjunto vazio.
i : unidade imaginária, i² = −1.
AB (com barra superior) : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : ângulo formado pelos segmentos OA e OB, com vértice no ponto O.
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D.
M² = MM, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguintes afirmações:
I. Sejam π₁, π₂ e π₃ três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se r ∩ s ≠ ∅ então r ∩ s ∩ t ≠ ∅.
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano π são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com s e com t.
É(são) VERDADEIRA(S)
Resolução comentada
Posições relativas de retas e planos no espaço.
I é verdadeira: se r e s se cortam em P, então P pertence a π₁, π₂ e π₃, pois r = π₁∩π₂ e s = π₂∩π₃ contêm P e P está em todos os planos, logo P está também em t = π₁∩π₃.
Análise das alternativas
II) Falsa: se r e s são paralelas e perpendiculares a π, suas projeções são dois pontos, não retas. III) Falsa: nem sempre existe reta paralela a r que corte s e t, pois isso exige que o plano por s paralelo a r intercepte t em um ponto, e não ocorre para todas as ternas de reversas (por exemplo, se t for paralela a esse plano). Logo B, C, D e E estão erradas.
Referência: Geometria de posição.
Resolução comentada do VaiConcursos.