Gabarito disponível
Quais as medidas, em centímetros, dos lados do retângulo de maior área que está contido em um triângulo equilátero de lado 8 cm, estando a base do retângulo situada num lado desse triângulo?
Resolução comentada
Retângulo de área máxima inscrito em triângulo equilátero de lado 8, com a base apoiada em um lado.
A altura do triângulo é 4√3. Para um retângulo de altura h, por semelhança, a base é b = 8(1 − h/(4√3)). A área A = b·h é uma parábola em h, com máximo em h = 2√3 (metade da altura). Nesse ponto b = 4, então os lados medem 4 e 2√3.
Análise das alternativas
A, B, C e D não atendem à relação b = 8 − 2h/√3 com h = 2√3 (b = 4), que é o ponto de máximo. Por exemplo, 4 e √3 dá área menor que 8√3, e 2 e 2√3 nem satisfaz a relação de semelhança.
Referência: Semelhança de triângulos e máximo de função quadrática.
Resolução comentada do VaiConcursos.