Gabarito disponível
Com relação à Teoria das Matrizes, aos Espaços Vetoriais, às Transformações Lineares e às Integrais de Superfície, coloque V (verdadeiro) ou falso F (falso), e assinale, a seguir, a opção correta.
( ) Toda matriz simétrica tem inversa também simétrica.
( ) Teorema de Gauss pode ser aplicado em qualquer superfície.
( ) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, não singulares, então (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹.
( ) Em todo operador linear T: V → V, tem-se Dim(V) = Dim(KerT) + Dim(Im T).
( ) Se V e U são espaços vetoriais de dimensão m e n, respectivamente, então a dimensão do homeomorfismo de V e U vale m+n.
( ) Todo sistema gerador de um espaço vetorial é um conjunto de vetores LI.
( ) Espaço vetorial dos polinômios de determinada variável e grau menor ou igual a n tem dimensão (n+1).
( ) Toda matriz simétrica tem inversa também simétrica.
( ) Teorema de Gauss pode ser aplicado em qualquer superfície.
( ) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, não singulares, então (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹.
( ) Em todo operador linear T: V → V, tem-se Dim(V) = Dim(KerT) + Dim(Im T).
( ) Se V e U são espaços vetoriais de dimensão m e n, respectivamente, então a dimensão do homeomorfismo de V e U vale m+n.
( ) Todo sistema gerador de um espaço vetorial é um conjunto de vetores LI.
( ) Espaço vetorial dos polinômios de determinada variável e grau menor ou igual a n tem dimensão (n+1).
Resolução comentada
F, F, V, V, F, F, V.
1) Falso: nem toda matriz simétrica é inversível (e, quando é, a inversa é simétrica). 2) Falso: o teorema de Gauss exige superfície fechada e orientada. 3) Verdadeiro: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. 4) Verdadeiro: é o teorema do núcleo e da imagem. 5) Falso: dim L(V,U) = m·n. 6) Falso: um sistema gerador pode ser LD. 7) Verdadeiro: dim = n+1.
Análise das alternativas
A, B e D marcam como verdadeira ao menos uma das afirmações 1, 2 ou 5, que são falsas. C marca a 7 como falsa, mas ela é verdadeira.
Referência: Álgebra Linear; Cálculo Vetorial (teorema da divergência).
Resolução comentada do VaiConcursos.