Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja m ∈ ℝ. Considere os sistemas lineares
S₁: { 4x − y = 2; −16x + m²y + z = −10; 12x − 3y + z = 8 }
e
S₂: { 10x + z = m² + m − 1; −5y + 5z = 14; 5my + (14 − 5m)z = 14m² − 56 }.
Assinale a alternativa correta:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja m ∈ ℝ. Considere os sistemas lineares
S₁: { 4x − y = 2; −16x + m²y + z = −10; 12x − 3y + z = 8 }
e
S₂: { 10x + z = m² + m − 1; −5y + 5z = 14; 5my + (14 − 5m)z = 14m² − 56 }.
Assinale a alternativa correta:
Resolução comentada
Só m = −3 torna S₁ equivalente a S₂, então existe exatamente um m < 0.
Em S₁, a terceira equação junto com 4x − y = 2 dá z = 2. Se m² = 4, S₁ é impossível. Em S₂, a segunda equação dá y = −4/5 com z = 2, e então x = 0,3. A primeira equação de S₂ dá m² + m − 1 = 5, logo m = 2 ou m = −3. Para m = 2, S₁ não tem solução, mas S₂ tem, então não são equivalentes. Para m = −3, ambos têm solução (0,3; −0,8; 2) e a terceira equação de S₂ confere (70 = 70).
Análise das alternativas
A) Falsa: m = −3 funciona. B) Falsa: m = 2 não funciona. D) Falsa: só um valor serve. E) Falsa: não há infinitos valores. C) Correta.
Referência: Sistemas lineares; equivalência de sistemas
Resolução comentada do VaiConcursos.