Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Sejam z₁, z₂ ∈ ℂ com z₂ ≠ 0. Considere as afirmações:
I. Se z₁ + z₂ ∈ ℝ e z₁ − z₂ ∈ ℝ então z₁ ∈ ℝ e z₂ ∈ ℝ.
II. Se z₁ · z₂ ∈ ℝ e z₁/z₂ ∈ ℝ então z₁ ∈ ℝ e z₂ ∈ ℝ.
III. Se z₁ + z₂ ∈ ℝ e z₁ · z₂ ∈ ℝ então z₁ ∈ ℝ e z₂ ∈ ℝ.
É (são) sempre verdadeira(s):
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Sejam z₁, z₂ ∈ ℂ com z₂ ≠ 0. Considere as afirmações:
I. Se z₁ + z₂ ∈ ℝ e z₁ − z₂ ∈ ℝ então z₁ ∈ ℝ e z₂ ∈ ℝ.
II. Se z₁ · z₂ ∈ ℝ e z₁/z₂ ∈ ℝ então z₁ ∈ ℝ e z₂ ∈ ℝ.
III. Se z₁ + z₂ ∈ ℝ e z₁ · z₂ ∈ ℝ então z₁ ∈ ℝ e z₂ ∈ ℝ.
É (são) sempre verdadeira(s):
Resolução comentada
Só a afirmação I é sempre verdadeira.
I: somando e subtraindo, 2z₁ e 2z₂ são reais, logo z₁ e z₂ são reais. II é falsa: z₁ = z₂ = i dá produto −1 e quociente 1, ambos reais, mas z₁ e z₂ não são reais. III é falsa: z₁ = 1+i e z₂ = 1−i têm soma 2 e produto 2, mas não são reais.
Análise das alternativas
B, C, D e E incluem II ou III, que têm contraexemplos, ou omitem a I, que é verdadeira.
Referência: Números complexos
Resolução comentada do VaiConcursos.