Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Considere o polinômio p(z) = z⁴ − 6z³ + 14z² − 6z + 13 e note que p(i) = 0. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de p(z). Podemos afirmar a área desse quadrilátero é
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Considere o polinômio p(z) = z⁴ − 6z³ + 14z² − 6z + 13 e note que p(i) = 0. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raízes de p(z). Podemos afirmar a área desse quadrilátero é
Resolução comentada
As raízes são ±i e 3±2i, que formam um trapézio de área 9.
Como p(i) = 0, também p(−i) = 0 e p(z) = (z²+1)(z²−6z+13), cujas raízes são i, −i, 3+2i e 3−2i. Os pontos (0,1), (0,−1), (3,2) e (3,−2) formam um trapézio de bases 2 e 4 e altura 3. A área é (2+4)·3/2 = 9.
Análise das alternativas
4, 6, 8 e 10 resultam de erro nas bases ou na altura do trapézio.
Referência: Polinômios; plano de Argand-Gauss
Resolução comentada do VaiConcursos.