Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja n ≥ 2 e A, B ∈ Mₙ(ℝ). Considere as seguintes afirmações:
I. Se AB ≠ BA então ou A ou B não é inversível.
II. Se AB = 0 então BA = 0.
III. Se Aᵀ = −A² e A é inversível então det(A) = −1.
É (são) verdadeira(s):
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja n ≥ 2 e A, B ∈ Mₙ(ℝ). Considere as seguintes afirmações:
I. Se AB ≠ BA então ou A ou B não é inversível.
II. Se AB = 0 então BA = 0.
III. Se Aᵀ = −A² e A é inversível então det(A) = −1.
É (são) verdadeira(s):
Resolução comentada
As três afirmações são falsas.
I é falsa: duas matrizes inversíveis podem não comutar. II é falsa: AB = 0 não implica BA = 0 em geral, como mostram contraexemplos 2×2. III é falsa: de Aᵀ = −A² segue det A = (−1)ⁿ(det A)², logo det A = (−1)ⁿ, que vale +1 quando n é par, e não −1.
Análise das alternativas
A, B, C e D tomam alguma das afirmações como verdadeira. Apenas a E (nenhuma) é correta.
Referência: Álgebra matricial; determinantes
Resolução comentada do VaiConcursos.