Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Sejam x, r ∈ ℝ e suponha que
−π/2 < x − r ≤ x + r < π/2.
Sobre
tan(x − r), tan(x) e tan(x + r),
nesta ordem, podemos afirmar que:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Sejam x, r ∈ ℝ e suponha que
−π/2 < x − r ≤ x + r < π/2.
Sobre
tan(x − r), tan(x) e tan(x + r),
nesta ordem, podemos afirmar que:
Resolução comentada
Para x = 0, tan(−r), 0 e tan r formam PA para qualquer r, ou seja, infinitos valores.
A condição de PA é tan(x+r) + tan(x−r) = 2 tan x. Isso equivale a sen x·(sen²r) = 0, ou seja, sen x = 0 ou sen r = 0. Se x = 0, os termos −tan r, 0 e tan r formam PA para todo r no intervalo permitido, logo há infinitos valores de r.
Análise das alternativas
A) Falsa, pois existem casos. B) e C) Falsas, pois x = 0 permite qualquer r. E) Falsa, pois a PA só ocorre se sen x = 0 ou r = 0. D) Correta.
Referência: Trigonometria; tangente da soma; progressão aritmética
Resolução comentada do VaiConcursos.