Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja b ∈ ℝ tal que a equação
x² − 6bx − (1 − b²)(y² − 2by) + b⁴ + 8b² − 1 = 0
determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja b ∈ ℝ tal que a equação
x² − 6bx − (1 − b²)(y² − 2by) + b⁴ + 8b² − 1 = 0
determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:
Resolução comentada
O centro da hipérbole é (3b, b), com |b| < 1, e satisfaz x²/9 − y²/2 < 1.
Completando quadrados, a equação vira (x−3b)² − (1−b²)(y−b)² = 1. Para ser hipérbole, 1−b² > 0, isto é, |b| < 1, e o centro é C = (3b, b). Na alternativa C: (3b)²/9 − b²/2 = b²/2 < 1/2 < 1, que é verdadeiro.
Análise das alternativas
A) 9b²/9 + b²/12 = 13b²/12 < 1 não vale para todo |b| 1 falha para b pequeno. D) 27b² − 2b² = 25b² > 1 falha para b pequeno. E) Errada, pois C é verdadeira.
Referência: Cônicas: hipérbole; completamento de quadrados
Resolução comentada do VaiConcursos.