Gabarito disponível
Seja P uma pirâmide regular cujo vértice V é um dos vértices de um cubo de lado l e cuja base é o hexágono formado pelos pontos médios das seis arestas do cubo que não contém V nem o vértice oposto a V. O raio da esfera que circunscreve P é
Resolução comentada
Pirâmide com altura h = l√3/2 e raio da base ρ = l√2/2 tem R = 5l√3/12.
Com V na origem e o vértice oposto em (l,l,l), os pontos médios das seis arestas restantes estão todos a distância l√2/2 do centro do cubo, (l/2,l/2,l/2). Esse centro é o centro do hexágono, e a altura da pirâmide é a distância de V a ele: h = l√3/2. O raio da esfera circunscrita é R = (h² + ρ²)/(2h) = (3l²/4 + l²/2)/(l√3) = 5l√3/12.
Análise das alternativas
As alternativas A, B, C e E resultam de erros na altura ou no raio da base; apenas 5l√3/12 satisfaz R = (h²+ρ²)/(2h).
Referência: Esfera circunscrita a pirâmide; geometria espacial
Resolução comentada do VaiConcursos.