Gabarito disponível
Sejam α, β e θ ângulos internos de um triângulo. Se cos(β + θ) ≤ cos(α + 2β), podemos afirmar que:
Resolução comentada
A desigualdade equivale a cosβ·cosθ ≤ 0, então o triângulo não pode ser acutângulo.
Como α+β+θ = π, cos(β+θ) = −cosα. A condição vira cosα + cos(α+2β) ≥ 0, isto é, 2cos(α+β)cosβ ≥ 0. Como cos(α+β) = −cosθ, obtém-se cosθ·cosβ ≤ 0. Logo β ou θ é maior ou igual a 90°, e o triângulo não é acutângulo.
Análise das alternativas
A) e B) Não são garantidas: o triângulo pode ser isósceles (obtuso) ou retângulo. D) Pode ser obtusângulo. E) Errada, pois a C pode ser garantida. C) Correta: pelo menos um ângulo é ≥ 90°.
Referência: Trigonometria; soma de cossenos; ângulos de um triângulo
Resolução comentada do VaiConcursos.