Gabarito disponível
O Desafio Global do Conhecimento (DGC) é uma competição em que todos os Colégios Militares se enfrentam em diversas modalidades. Para selecionar os alunos participantes da equipe de Matemática do CMB, o Professor Pinheiro colocou-os num labirinto com três salas, cada uma delas com um desafio matemático diferente. A senha para sair do labirinto era formada por três algarismos, sendo que cada algarismo era a resposta de um dos desafios.
Os desafios propostos no labirinto, seguindo a ordem abaixo, foram os seguintes:
Desafio 1 – Qual é o número de raízes reais da equação biquadrada x⁴ − 7x² − 18 = 0 ?
Desafio 2 – Qual é o número de soluções da equação irracional √(x + 10) − √(2x + 3) = √(1 − 3x) ?
Desafio 3 – Qual é o número de soluções distintas (x, y) inteiras e positivas da equação 4x + 3y = 100 ?
Sabendo que os alunos saíram do labirinto, a senha que eles usaram foi
Os desafios propostos no labirinto, seguindo a ordem abaixo, foram os seguintes:
Desafio 1 – Qual é o número de raízes reais da equação biquadrada x⁴ − 7x² − 18 = 0 ?
Desafio 2 – Qual é o número de soluções da equação irracional √(x + 10) − √(2x + 3) = √(1 − 3x) ?
Desafio 3 – Qual é o número de soluções distintas (x, y) inteiras e positivas da equação 4x + 3y = 100 ?
Sabendo que os alunos saíram do labirinto, a senha que eles usaram foi
Resolução comentada
Contar as soluções de cada desafio e formar a senha.
Desafio 1: com y = x², y² − 7y − 18 = 0 dá y = 9 ou y = −2, e só x = ±3 é real, então são 2 raízes. Desafio 2: elevando ao quadrado chega-se a 7x² + 13x + 6 = 0, com x = −1 e x = −6/7. Ambos satisfazem a equação, então são 2 soluções. Desafio 3: x ≡ 1 (mod 3) e x ≤ 24 dão x = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ou seja, 8 soluções. A senha é 228.
Análise das alternativas
A, B, C e E trazem algarismos que não correspondem a 2, 2 e 8 nessa ordem. D) Correta.
Referência: Equações biquadradas, irracionais e diofantinas
Resolução comentada do VaiConcursos.