Questão 11 — Teoria dos Números — Fatorial e Números Primos (Matemática) — Colégio Militar de Belo Horizonte (CMBH) · Colégio Militar de Belo Horizonte 2023

Matemática Teoria dos Números — Fatorial e Números Primos

Colégio Militar de Belo Horizonte (CMBH) 2023 Fundamental

Colégio Militar de Belo Horizonte · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio

Gabarito disponível

A expressão p(n), com n natural e n ≥ 2, representa o produto dos números naturais consecutivos de 1 até n. Assim, por exemplo, p(4) = 1 · 2 · 3 · 4. Com base nessas informações julgue os itens abaixo:
I. p(n) + 1 é um número ímpar.
II. Existe n tal que p(n) + 1 é um número primo.
III. p(n · m) = p(n) · p(m)
IV. Os números p(2023) + 2, p(2023) + 3, p(2023) + 4, ⋯ , p(2023) + 2023 são todos compostos.
Assinalando V nos itens corretos e F nos itens falsos, a sequência correta é:

Selecione uma alternativa A) V - F - F - V. B) V - V - F – V. C) F - V - F – V. D) V - V - F - F. E) F - V - F – F.

Resolução comentada

Análise de p(n) = n! e de compostos consecutivos.

I é V: p(n) é par para n ≥ 2, então p(n)+1 é ímpar. II é V: p(2)+1 = 3 é primo. III é F: p(2·2) = 24 ≠ 2·2 = 4. IV é V: para k de 2 a 2023, k divide p(2023)+k, que é maior que k, portanto composto. Sequência V-V-F-V.

Análise das alternativas

A, C, D e E erram ao marcar II como falso ou IV como falso (ou I como falso); todos contradizem o contraexemplo p(2)+1 = 3 ou o argumento da divisibilidade.

Referência: Teoria dos números: fatorial e primos.

Resolução comentada do VaiConcursos.