Questão 8 — Polígonos — Diagonais e Soma dos Ângulos Internos (Matemática) — Colégio Militar de Curitiba (DECEx – DEPA) · Colégio Militar de Curitiba 2023

Matemática Polígonos — Diagonais e Soma dos Ângulos Internos

Colégio Militar de Curitiba (DECEx – DEPA) 2023 Fundamental

Colégio Militar de Curitiba · Aluno — 1º ano do Ensino Médio

Gabarito disponível

Assinale a alternativa que apresenta uma expressão a qual permita calcular o número de diagonais (d) de um polígono convexo em função da medida da soma de seus ângulos internos (Sᵢ).

Selecione uma alternativa A) d = (1/2)·[(Sᵢ/360º)² + Sᵢ/60º − 6] B) d = (1/2)·[(Sᵢ/270º)² + 16·Sᵢ/405º − 12] C) d = (1/2)·[(Sᵢ/120º)² + Sᵢ/120º − 8] D) d = (1/2)·[(Sᵢ/210º)² + 199·Sᵢ/17640º − 3] E) d = (1/2)·[(Sᵢ/180º)² + Sᵢ/180º − 2]

Resolução comentada

Substituindo n = Sᵢ/180 + 2 em d = n(n−3)/2, obtém-se d = ½[(Sᵢ/180)² + Sᵢ/180 − 2].

A soma dos ângulos internos é Sᵢ = 180(n−2), então n = Sᵢ/180 + 2. O número de diagonais é d = n(n−3)/2 = (Sᵢ/180 + 2)(Sᵢ/180 − 1)/2. Desenvolvendo, d = ½[(Sᵢ/180)² + Sᵢ/180 − 2].

Análise das alternativas

A, B, C e D usam denominadores (360, 270, 120, 210) e termos constantes que não resultam da fórmula. Elas não coincidem com o desenvolvimento do produto (x+2)(x−1), com x = Sᵢ/180. Só E tem a estrutura x² + x − 2.

Referência: Soma dos ângulos internos Sᵢ = 180°(n−2) e número de diagonais d = n(n−3)/2.

Resolução comentada do VaiConcursos.