Gabarito disponível
Em um polígono regular ABCDEFG…, as interseções da mediatriz relativa ao lado CD com a bissetriz interna relativa ao vértice A e com o lado CD são, respectivamente, os pontos O₁ e M₁. Sabendo que o ângulo AÔ₁M₁ é igual a 75º e que o lado BC está contido no interior do ângulo AÔ₁M₁, o número de diagonais do polígono ABCDEFG… é igual a:
Resolução comentada
O ângulo de 75° corresponde a 2,5 passos de 30°, o que dá n = 12 lados e 54 diagonais.
O ponto O₁ é o centro do polígono, pois a mediatriz de CD e a bissetriz de A passam por ele. O ângulo AÔ₁M₁ percorre 2,5 ângulos centrais (de A a C são 2, e mais metade até M₁). Então 2,5·(360°/n) = 75°, logo n = 12. O número de diagonais é d = n(n−3)/2 = 12·9/2 = 54.
Análise das alternativas
A) 35 corresponde a n = 10. B) 44 corresponde a n = 11. D) 65 corresponde a n = 13. E) 77 corresponde a n = 14. Nenhum desses n dá 75°.
Referência: Matemática – Polígonos regulares, ângulos e diagonais
Resolução comentada do VaiConcursos.