Questão 19 — Polinômios — Raízes de Equações Polinomiais (Equação Recíproca) (Matemática) — EsPCEx · Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro 2023

Matemática Polinômios — Raízes de Equações Polinomiais (Equação Recíproca)

EsPCEx 2023

Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx · Caderno Modelo D

Gabarito disponível

Em relação ao polinômio p: ℂ → ℂ dado por p(x) = 2x⁴ − 3x³ + 3x² − 3x + 1, pode-se afirmar que:

Selecione uma alternativa A) possui 1 raiz inteira, 1 irracional e 2 complexas não reais. B) possui 1 raiz inteira, 1 racional não inteira e 2 complexas não reais. C) possui 2 raízes racionais e 2 irracionais. D) possui somente raízes inteiras. E) possui 1 raiz inteira e 3 racionais não inteiras.

Resolução comentada

As raízes são 1 e 1/2, mais i e −i: uma inteira, uma racional não inteira e duas complexas não reais.

Testando, p(1) = 0 e p(1/2) = 0. Logo, p(x) = (x−1)(2x−1)(x²+1), o que dá as raízes 1, 1/2, i e −i. Ou seja: uma inteira, uma racional não inteira e duas complexas não reais.

Análise das alternativas

A) Não há raiz irracional. C) Não há 2 irracionais, e as racionais são 2 apenas se contarmos 1 e 1/2, mas as outras duas são complexas. D) Nem todas as raízes são inteiras. E) Só há duas raízes reais, então não há 3 racionais não inteiras.

Referência: Matemática – Polinômios e equações recíprocas

Resolução comentada do VaiConcursos.