Questão 12 — Geometria Analítica — Retas Tangentes Comuns a Circunferências (Matemática) — Instituto Militar de Engenharia (IME) 2023

Matemática Geometria Analítica — Retas Tangentes Comuns a Circunferências

Instituto Militar de Engenharia (IME) 2023 Médio

Instituto Militar de Engenharia (IME) · Concurso de Formação e Graduação

Gabarito disponível

Considere duas circunferências no plano cartesiano Oxy, uma de raio igual a 6 e centro no ponto (6,6) e outra de centro na origem e tangente exteriormente à primeira. A equação da tangente interior comum às circunferências é:

Selecione uma alternativa A) y + 2x − 3(√2 − 2) = 0 B) 2y + x + 6(√2 − 2) = 0 C) y + x + 6(√2 − 2) = 0 D) y + x − 6(√2 − 2) = 0 E) 2y + x − 6(√2 − 2) = 0

Resolução comentada

A tangente interior é perpendicular à reta dos centros (y = x) e passa pelo ponto de tangência: x + y + 6(√2 − 2) = 0.

A distância entre os centros é 6√2, então o raio da circunferência na origem é 6√2 − 6. A tangente interior comum passa pelo ponto de tangência e é perpendicular à reta y = x, logo tem a forma x + y = k. O ponto de tangência está a r₀ da origem sobre y = x, com soma das coordenadas r₀√2 = 12 − 6√2 = −6(√2 − 2). Assim, x + y + 6(√2 − 2) = 0.

Análise das alternativas

A, B e E) Erradas: têm coeficientes diferentes de x e y, então a inclinação não é −1 e a reta não é perpendicular a y = x. D) Errada: tem a inclinação certa, mas o sinal do termo constante está trocado, o que a coloca do lado oposto, em x + y positivo.

Referência: Geometria analítica: circunferências tangentes e retas tangentes comuns.

Resolução comentada do VaiConcursos.