Gabarito disponível
O valor de n ∈ ℕ tal que
arctg(1/3) + arctg(1/4) + arctg(1/5) + arctg(1/n) = π/4
é:
arctg(1/3) + arctg(1/4) + arctg(1/5) + arctg(1/n) = π/4
é:
Resolução comentada
Somando os arcos pela fórmula da tangente da soma, arctg(1/3)+arctg(1/4)+arctg(1/5) = arctg(23/24), e então 1/n = 1/47.
arctg(1/3)+arctg(1/4) = arctg[(7/12)/(1 − 1/12)] = arctg(7/11). Somando arctg(1/5): (7/11+1/5)/(1−7/55) = (46/55)/(48/55) = 23/24. Então arctg(1/n) = π/4 − arctg(23/24) = arctg[(1 − 23/24)/(1 + 23/24)] = arctg(1/47). Logo n = 47.
Análise das alternativas
A, B, C e E) Erradas: com esses valores a soma dos quatro arcos não dá π/4, pois o único valor que fecha a igualdade é n = 47.
Referência: Trigonometria: tg(a+b) e tg(a−b); funções trigonométricas inversas.
Resolução comentada do VaiConcursos.