Gabarito disponível
Sejam α e β dois planos não paralelos que se interceptam na reta r e cujo ângulo diedro é π/6 radianos. Tome pontos A,B,C,D de α e, por cada um destes pontos, trace retas ortogonais a α que interceptam β nos pontos A′,B′,C′,D′, respectivamente. Sabendo que o quadrilátero ABCD é um trapézio cuja diagonal AC é paralela a r, a razão entre as áreas de ABCD e A′B′C′D′ é:
Resolução comentada
ABCD é a projeção ortogonal de A′B′C′D′ sobre α, então a razão das áreas é cos(π/6) = √3/2.
Os pontos A′, B′, C′, D′ estão em β e ABCD é a projeção ortogonal deles sobre α. A área da projeção é a área original multiplicada pelo cosseno do ângulo diedro. Assim, [ABCD] = [A′B′C′D′]·cos(π/6), e a razão pedida é √3/2.
Análise das alternativas
A) Errada: só valeria se os planos fossem paralelos. B) Errada: 3/2 é maior que 1, mas a projeção reduz a área. D) Errada: √3/3 não é cos 30°. E) Errada: 1/3 não corresponde ao cosseno de 30°.
Referência: Geometria espacial: área da projeção ortogonal e ângulo diedro.
Resolução comentada do VaiConcursos.