Gabarito disponível
Em uma escada, uma bola lançada do i-ésimo degrau irá parar em qualquer degrau mais baixo com probabilidade 1/i. Por exemplo, ao lançarmos uma bola do 3º degrau, a bola tem 1/3 de chances de parar no 2º degrau, 1/3 de chances de parar no 1º degrau e 1/3 de chances de parar no degrau 0. Nessa escada lançamos uma bola preta do degrau m, m > 0, e uma bola branca do degrau n, n > m. A probabilidade de a bola branca parar em um degrau mais baixo do que a bola preta é:
Resolução comentada
A bola preta para em b ∈ {0..m−1} e a branca em w ∈ {0..n−1}, ambas uniformes; P(w < b) = (m−1)/(2n).
Lançada do degrau m, a bola preta para em cada degrau de 0 a m−1 com probabilidade 1/m. A branca, lançada de n, para em cada degrau de 0 a n−1 com probabilidade 1/n. Para a preta parada em b, a branca fica abaixo com probabilidade b/n, pois há b degraus menores que b. Logo P = Σ(b=0 a m−1) (1/m)(b/n) = (1/(mn))·m(m−1)/2 = (m−1)/(2n).
Análise das alternativas
A, B, C e D) Erradas: não resultam da soma Σ b/(mn). Ignoram o fator (m−1) ou tratam mal a contagem dos degraus abaixo de b, que inclui o degrau 0.
Referência: Probabilidade condicional e total; soma de PA.
Resolução comentada do VaiConcursos.