Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Sejam z ∈ ℂ e f(z) = z² + i. Para cada n ∈ ℕ, definimos f⁽¹⁾(z) = f(z) e f⁽ⁿ⁾(z) = f(f⁽ⁿ⁻¹⁾(z)). Então, f⁽²⁰²³⁾(0) é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Sejam z ∈ ℂ e f(z) = z² + i. Para cada n ∈ ℕ, definimos f⁽¹⁾(z) = f(z) e f⁽ⁿ⁾(z) = f(f⁽ⁿ⁻¹⁾(z)). Então, f⁽²⁰²³⁾(0) é
Resolução comentada
Calcular as primeiras iteradas para achar o padrão: a partir de n = 3, ímpares dão −i.
f¹(0) = i; f²(0) = i² + i = −1 + i; f³(0) = (−1 + i)² + i = −2i + i = −i; f⁴(0) = (−i)² + i = −1 + i. A sequência alterna entre −1 + i (n par) e −i (n ímpar ≥ 3). Como 2023 é ímpar, f²⁰²³(0) = −i.
Análise das alternativas
D (i) é só o primeiro termo. B (i − 1) é o valor para n par. A e C não aparecem na sequência.
Referência: Números complexos: iteração de funções e periodicidade.
Resolução comentada do VaiConcursos.