Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Considere A ∈ M₃(ℝ) tal que existe um único número real x que satisfaz a equação det(∛2·x²A) + det(xA³) = det A². Então, x + det A é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Considere A ∈ M₃(ℝ) tal que existe um único número real x que satisfaz a equação det(∛2·x²A) + det(xA³) = det A². Então, x + det A é
Resolução comentada
Com d = det A, reduzir a equação a uma quadrática em x³ e impor discriminante nulo.
Para matrizes 3×3: det(∛2·x²A) = (∛2)³·x⁶·d = 2x⁶d, det(xA³) = x³d³ e det A² = d². A equação fica 2dx⁶ + d³x³ − d² = 0, e para d ≠ 0 vira 2u² + d²u − d = 0 com u = x³. Como x é único, u também é, então o discriminante é nulo: d⁴ + 8d = 0, que dá d = −2. Então u = −d²/4 = −1, x = −1 e x + det A = −3.
Análise das alternativas
Os demais valores não satisfazem a condição de solução única com d = −2 e x = −1. Se d = 0, todo x seria solução, contrariando a unicidade.
Referência: Determinantes: det(kA) = kⁿ·det A, det(Aᵏ) = (det A)ᵏ.
Resolução comentada do VaiConcursos.