Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Sejam f e g funções reais definidas da seguinte forma:
f(x) = 3²ˣ e g(x) = 3ˣ − 2ˣ. Considere as afirmações:
I. g(x) ≥ 0, para todo x ∈ ℝ.
II. f(x) ≥ g(x), para todo x ∈ ℝ.
III. f(x) + g(x) ≥ 0, para todo x ∈ ℝ.
É (são) sempre verdadeira(s):
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Sejam f e g funções reais definidas da seguinte forma:
f(x) = 3²ˣ e g(x) = 3ˣ − 2ˣ. Considere as afirmações:
I. g(x) ≥ 0, para todo x ∈ ℝ.
II. f(x) ≥ g(x), para todo x ∈ ℝ.
III. f(x) + g(x) ≥ 0, para todo x ∈ ℝ.
É (são) sempre verdadeira(s):
Resolução comentada
Apenas a afirmação II vale para todo x real.
I é falsa: para x = −1, 3⁻¹ − 2⁻¹ < 0. III é falsa: com t = 3ˣ, f + g = t² + t − 2ˣ, e para x muito negativo 2ˣ é bem maior que 9ˣ + 3ˣ, então a soma fica negativa. II é verdadeira: f − g = 9ˣ − 3ˣ + 2ˣ, que é positivo. Para x ≥ 0, 9ˣ ≥ 3ˣ. Para x < 0, 3ˣ 3ˣ, então 9ˣ − 3ˣ + 2ˣ > 9ˣ > 0.
Análise das alternativas
A está errada porque I é falsa. C e D estão erradas porque III é falsa. E está errada porque II é verdadeira.
Referência: Função exponencial: comparação de funções.
Resolução comentada do VaiConcursos.