Gabarito disponível
A média harmônica de n números reais positivos a₁, a₂, ..., aₙ é
H = n/(1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ).
Sabendo que o polinômio p(x) = 30x³ − 113x² + 108x − 30 possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de p(x) é
H = n/(1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ).
Sabendo que o polinômio p(x) = 30x³ − 113x² + 108x − 30 possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de p(x) é
Resolução comentada
Usar Girard: soma dos inversos = (soma dos produtos dois a dois)/(produto das raízes).
Em 30x³ − 113x² + 108x − 30, a soma dos produtos dois a dois é 108/30 e o produto das raízes é 30/30 = 1. Então 1/a₁ + 1/a₂ + 1/a₃ = (108/30)/1 = 18/5. A média harmônica é H = 3/(18/5) = 5/6.
Análise das alternativas
As outras alternativas vêm de erros nas relações de Girard ou da inversão da fração. Só a soma dos inversos 18/5 leva a 5/6.
Referência: Relações de Girard; média harmônica.
Resolução comentada do VaiConcursos.