Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Seja ABC um triângulo retângulo tal que BÂC = 30°. Considere D um ponto na hipotenusa A̅C̅ e retas r e s passando por D, paralelas aos lados A̅B̅ e B̅C̅, respectivamente. Se E = r ∩ B̅C̅, F = s ∩ A̅B̅ e m(B̅C̅) = 1, o menor valor possível para m(E̅F̅) é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Seja ABC um triângulo retângulo tal que BÂC = 30°. Considere D um ponto na hipotenusa A̅C̅ e retas r e s passando por D, paralelas aos lados A̅B̅ e B̅C̅, respectivamente. Se E = r ∩ B̅C̅, F = s ∩ A̅B̅ e m(B̅C̅) = 1, o menor valor possível para m(E̅F̅) é
Resolução comentada
EF é diagonal do retângulo BEDF, então EF = BD e o mínimo é a altura relativa à hipotenusa.
O triângulo é retângulo em B (a hipotenusa é AC), com BC = 1, ângulo A = 30°, AB = √3 e AC = 2. Como DE ∥ AB e DF ∥ BC, BFDE é um retângulo, e suas diagonais são iguais, logo EF = BD. BD é mínimo quando D é o pé da altura de B sobre AC, e vale AB·BC/AC = √3/2.
Análise das alternativas
As demais alternativas não correspondem à altura relativa à hipotenusa. √3/3 e √3 não resultam de AB·BC/AC, e as de raiz de 2 não se relacionam com a geometria do triângulo 30-60-90.
Referência: Geometria plana: triângulo 30°-60°-90°, retângulo e distância de ponto a reta.
Resolução comentada do VaiConcursos.