Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Dado z = 5 − 5i ∈ ℂ, definimos f(n) = |z^(2n+1) + z̄^(2n+1)| para cada n ∈ ℕ. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA⃗ e OB⃗, com vértice no ponto O.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
det A : denota o determinante da matriz A.
Dado z = 5 − 5i ∈ ℂ, definimos f(n) = |z^(2n+1) + z̄^(2n+1)| para cada n ∈ ℕ. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é
Resolução comentada
Escrever z na forma polar e calcular f(n) = 10·50ⁿ, uma PG.
z = 5 − 5i tem módulo 5√2 e argumento −π/4. Então zᵐ + z̄ᵐ = 2(5√2)ᵐ·cos(mπ/4), e para m = 2n + 1 ímpar |cos(mπ/4)| = √2/2. Assim f(n) = √2·(5√2)^(2n+1) = √2·5√2·50ⁿ = 10·50ⁿ. A soma de n = 1 a 20 é 10·50·(50²⁰ − 1)/49 = 500(50²⁰ − 1)/49.
Análise das alternativas
A, B e C erram a constante ou o expoente da soma da PG (a razão é 50, com 20 termos). E está errada porque a alternativa D coincide com o resultado.
Referência: Números complexos: forma polar, potência e soma de PG.
Resolução comentada do VaiConcursos.