Gabarito disponível
Considere a hipérbole H de equação x² − y²/4 = 1. Seja T um triângulo de vértices P, F₁, F₂, onde F₁ e F₂ são os focos de H e P um ponto em H. Sabendo que o perímetro de T é 5√5, o produto da medida dos lados de T é
Resolução comentada
Usar a definição da hipérbole e o perímetro para achar PF₁ e PF₂.
Na hipérbole, a = 1, b = 2 e c = √5, então F₁F₂ = 2√5. O perímetro 5√5 dá PF₁ + PF₂ = 3√5. Pela definição, |PF₁ − PF₂| = 2a = 2. Logo os dois lados valem (3√5 + 2)/2 e (3√5 − 2)/2, e seu produto é (45 − 4)/4 = 41/4. Multiplicando por 2√5, o produto dos três lados é 41√5/2.
Análise das alternativas
B e D deixam de multiplicar pelo lado F₁F₂ = 2√5. C e E erram o fator numérico final. Só A resulta de (41/4)·2√5.
Referência: Cônicas: definição de hipérbole (|PF₁ − PF₂| = 2a, c² = a² + b²).
Resolução comentada do VaiConcursos.