Questão 18 — Trigonometria — Polígono Regular Inscrito e Lei dos Senos (Matemática) — Colégio Militar de Brasília 2024

Matemática Trigonometria — Polígono Regular Inscrito e Lei dos Senos

Colégio Militar de Brasília 2024 Fundamental

Colégio Militar de Brasília · Admissão ao 1º Ano do Ensino Médio

Gabarito disponível

Seja um dodecágono regular inscrito em um círculo de raio 2√3, cujos vértices consecutivos são nomeados como CDEFGHIJKLMN. Determine o perímetro do triângulo FIN.
Considere sen 15° = (√6 – √2)/4 , sen 150 = sen 30° e sen 120 = sen 60°.

Selecione uma alternativa A) 6 + √3 + √2 B) 4+ √6 + √2 C) 3 + √6 + √2 D) 4 + √3 + (3√6 + √3) E) 6 + 2√6 + (3√2 + √6)

Resolução comentada

Perímetro de triângulo com vértices em um dodecágono regular inscrito, usando cordas 2R·sen(θ/2).

Numerando C=0, D=1, ..., N=11, os vértices F, I e N ficam em 3, 6 e 11. Os arcos entre eles medem 3·30°=90° (F–I), 5·30°=150° (I–N) e 4·30°=120° (N–F). Cada lado é uma corda 2R·sen(θ/2), com 2R=4√3. FI=4√3·sen45°=2√6. IN=4√3·sen75°=√3(√6+√2)=3√2+√6. NF=4√3·sen60°=6. O perímetro é 6+2√6+(3√2+√6).

Análise das alternativas

As alternativas A, B, C e D não correspondem à soma 6 + 2√6 + 3√2 + √6 dos três lados. Só a E apresenta essa soma.

Referência: Lei dos senos; corda de um arco em circunferência de raio R: c = 2R·sen(θ/2).

Resolução comentada do VaiConcursos.