Gabarito disponível
Considere a sequência de números complexos z₁ = (1 + i), z₂ = (1 + i)², ..., z₂₀ = (1 + i)²⁰, onde i² = −1.
A maior área possível do triângulo formado pelos afixos de três números consecutivos dessa sequência é
A maior área possível do triângulo formado pelos afixos de três números consecutivos dessa sequência é
Resolução comentada
Área do triângulo escala com |zₖ|² = 2ᵏ.
O triângulo formado por zₖ, zₖ₊₁, zₖ₊₂ é o triângulo de vértices 1, w, w² (com w = 1 + i) multiplicado por zₖ. Esse triângulo-base tem vértices (1,0), (1,1), (0,2), com área 1/2. A área fica multiplicada por |zₖ|² = 2ᵏ. O maior k possível é 18, então a área máxima é 2¹⁸·(1/2) = 2¹⁷.
Análise das alternativas
2¹⁸, 2¹⁹ e 2²⁰ ignoram o fator 1/2 ou usam k maior que 18, o que sairia da sequência. 2¹⁶ corresponde a k = 17. Só B é a área máxima.
Referência: Números complexos: módulo, potências e área por multiplicação (semelhança).
Resolução comentada do VaiConcursos.