Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Considere o conjunto:
A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}.
Qual o menor n ∈ ℕ tal que todo subconjunto de A com n elementos contenha pelo menos um par cujo produto seja 256?
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Considere o conjunto:
A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}.
Qual o menor n ∈ ℕ tal que todo subconjunto de A com n elementos contenha pelo menos um par cujo produto seja 256?
Resolução comentada
Há 4 pares com produto 256 e o 16 isolado, então o maior subconjunto sem par tem 5 elementos e n = 6.
Os pares de elementos distintos com produto 256 são (1,256), (2,128), (4,64) e (8,32). O 16 não forma par, pois exigiria 16·16. É possível escolher 5 elementos sem nenhum par: um de cada par mais o 16. Com 6 elementos, pelo princípio da casa dos pombos, algum par completo fica no subconjunto. Logo, n = 6.
Análise das alternativas
n = 5 falha, porque existe subconjunto de 5 elementos sem par. n = 7, 8 e 9 também garantem a propriedade, mas não são o menor valor.
Referência: Princípio da casa dos pombos.
Resolução comentada do VaiConcursos.