Gabarito disponível
Considere o conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5}. Para cada escolha possível de a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ ∈ C, dois a dois distintos, formamos o polinômio
a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴.
A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:
a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴.
A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:
Resolução comentada
A soma das raízes de cada polinômio é −a3/a4, e somar sobre as 120 permutações dá −351/2.
Para cada polinômio, a soma das raízes é −a3/a4. Cada par ordenado (a3, a4) com a3 ≠ a4 aparece em 3! = 6 polinômios. A soma de x/y sobre todos os pares x ≠ y é (Σx)(Σ1/y) − 5 = 15·(137/60) − 5 = 117/4. Multiplicando por 6, obtém-se 351/2, e com o sinal negativo a resposta é −351/2.
Análise das alternativas
As demais alternativas resultam de erros de contagem das permutações ou do esquecimento de subtrair os 5 termos com x = y. Também aparecem erros de sinal.
Referência: Relações de Girard e análise combinatória.
Resolução comentada do VaiConcursos.