Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
O valor de k ∈ ℝ de modo que as raízes do polinômio p(x) = x³ + 3x² − 6x + k estejam em progressão geométrica é:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
O valor de k ∈ ℝ de modo que as raízes do polinômio p(x) = x³ + 3x² − 6x + k estejam em progressão geométrica é:
Resolução comentada
As raízes a/q, a e aq fornecem a = 2 e, pelo produto das raízes, k = −8.
Sejam as raízes a/q, a e aq, e S = 1/q + 1 + q. Por Girard, a soma das raízes é aS = −3 e a soma dos produtos dois a dois é a²S = −6. Dividindo, a = 2. O produto das raízes é a³ = 8 = −k, logo k = −8.
Análise das alternativas
Os valores −18, −16, −2 e −1 não satisfazem a³ = −k com a = 2. Só k = −8 é compatível com as duas relações de Girard.
Referência: Relações de Girard e progressão geométrica.
Resolução comentada do VaiConcursos.