Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Considere um triângulo ABC e M o ponto médio do lado B̅C̅. Tome o ponto R ≠ A na reta AB tal que m(A̅B̅) = m(B̅R̅) e o ponto Q na reta AC tal que m(A̅C̅) = 2 m(C̅Q̅) e Q não esteja no segmento A̅C̅. A reta RM corta o lado A̅C̅ no ponto S e a reta QM corta o lado A̅B̅ no ponto P. Sendo 24 a área do triângulo ABC, o valor da área do quadrilátero APMS vale:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Considere um triângulo ABC e M o ponto médio do lado B̅C̅. Tome o ponto R ≠ A na reta AB tal que m(A̅B̅) = m(B̅R̅) e o ponto Q na reta AC tal que m(A̅C̅) = 2 m(C̅Q̅) e Q não esteja no segmento A̅C̅. A reta RM corta o lado A̅C̅ no ponto S e a reta QM corta o lado A̅B̅ no ponto P. Sendo 24 a área do triângulo ABC, o valor da área do quadrilátero APMS vale:
Resolução comentada
Área de quadrilátero APMS em triângulo de área 24.
Como a razão de áreas se conserva em transformação afim, usamos A=(0,0), B=(1,0), C=(0,1), de área 1/2. Então M=(½,½), R=(2,0), Q=(0,3/2). A reta RM corta AC em S=(0,2/3) e a reta QM corta AB em P=(3/4,0). Pela fórmula do cadarço, a área de APMS é 17/48. A razão para o triângulo é (17/48)/(1/2) = 17/24, então a área é 17.
Análise das alternativas
15, 16, 18 e 19 não correspondem à razão 17/24. Resposta: C.
Referência: Geometria plana; áreas
Resolução comentada do VaiConcursos.