Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Sejam a = 1 + 3√3i e b = 2√3 + 4i números complexos. O menor valor m ∈ ℕ tal que aᵐ = bᵐ é:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Sejam a = 1 + 3√3i e b = 2√3 + 4i números complexos. O menor valor m ∈ ℕ tal que aᵐ = bᵐ é:
Resolução comentada
Menor m natural tal que aᵐ = bᵐ.
Os módulos são iguais: |a| = √28 = |b|. Então a/b = (1+3√3 i)(2√3−4i)/28 = (√3 + i)/2 = cis(π/6). Precisamos de (a/b)ᵐ = 1, isto é, mπ/6 = 2kπ, então m múltiplo de 12. O menor é 12.
Análise das alternativas
6, 8 e 10 não são múltiplos de 12, então (a/b)ᵐ ≠ 1. Existe solução, então E é falsa. Resposta: D.
Referência: Números complexos; forma trigonométrica
Resolução comentada do VaiConcursos.