Gabarito disponível
Considere um triângulo retângulo cujo perímetro mede 15 unidades de comprimento e que seus lados estão em uma progressão aritmética crescente. A partir desse triângulo, podemos inscrever uma circunferência de raio r, bem como circunscrever outra circunferência de raio R. Então, a razão entre o raio da circunferência circunscrita e o raio da circunferência inscrita, nessa ordem, pertence ao intervalo:
Resolução comentada
Triângulo 3-4-5 escalado; R/r = 2,5, que está em [2,3[.
Lados em PA e retângulo dão a proporção 3k, 4k, 5k. Perímetro 12k = 15, então k = 5/4. O raio circunscrito é metade da hipotenusa, R = 5k/2, e o inscrito é r = (3k+4k−5k)/2 = k. Logo R/r = 5/2 = 2,5.
Análise das alternativas
A) Errada: 2,5 não pertence a [1,2[. C) Errada: 2,5 não pertence a [3,4[. D) Errada: 2,5 não pertence a [4,5]. Só [2,3[ contém 2,5.
Referência: Triângulo retângulo pitagórico; raio inscrito r = (a+b−c)/2.
Resolução comentada do VaiConcursos.