Gabarito disponível
A equação real
(x/(x − 1))² + ((x − 1)/x)² = 5/2
com x ≠ 0 e x ≠ 1, possui raízes cuja soma é igual a
(x/(x − 1))² + ((x − 1)/x)² = 5/2
com x ≠ 0 e x ≠ 1, possui raízes cuja soma é igual a
Resolução comentada
Substituir u=x/(x−1), resolver para u² e voltar a x.
Seja w=u² com u=x/(x−1). Então w+1/w=5/2, o que dá w=2 ou w=1/2, e u=±√2 ou u=±1/√2. De u=x/(x−1) obtém-se x=u/(u−1)=1+1/(u−1). A soma de 1/(u−1) para os quatro valores é (√2+1)+(1−√2)+(−2−√2)+(−2+√2)=−2. Assim a soma das raízes é 4−2=2.
Análise das alternativas
A, B, C e E (0, −1, 2√2 e 4) não coincidem com a soma 2. Elas surgem ao esquecer a transformação x=u/(u−1) ou ao somar só parte das raízes.
Referência: Equações fracionárias; mudança de variável.
Resolução comentada do VaiConcursos.