Gabarito disponível
Considere as seguintes afirmações:
I. A função f: ℝ₊ → ℝ₊ definida por f(x) = x² é bijetora.
II. A função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = √(x²) é sobrejetora.
III. Sejam f e g funções de ℝ em ℝ. Se f(g(x)) = x, então g é injetora.
IV. Para todo número real x, (x − a)(x − b)/(x − a) = x − b.
V. No conjunto dos números reais, temos que √4 = ±2.
Dentre as afirmativas feitas acima, estão corretas apenas:
I. A função f: ℝ₊ → ℝ₊ definida por f(x) = x² é bijetora.
II. A função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = √(x²) é sobrejetora.
III. Sejam f e g funções de ℝ em ℝ. Se f(g(x)) = x, então g é injetora.
IV. Para todo número real x, (x − a)(x − b)/(x − a) = x − b.
V. No conjunto dos números reais, temos que √4 = ±2.
Dentre as afirmativas feitas acima, estão corretas apenas:
Resolução comentada
Só as afirmações I e III são corretas.
I é verdadeira: x² de ℝ₊ em ℝ₊ é injetora e sobrejetora. II é falsa: √(x²) = |x| nunca assume valores negativos, então não é sobrejetora em ℝ. III é verdadeira: se f(g(x)) = x, então g(a) = g(b) implica a = b, logo g é injetora. IV é falsa porque a expressão não existe em x = a. V é falsa porque √4 = 2 (a raiz é o valor não negativo).
Análise das alternativas
A) inclui a II, que é falsa. C) e D) incluem a V (e a IV, em C), falsas. E) inclui a IV, falsa. Só I e III estão corretas.
Referência: Funções: injetividade, sobrejetividade, função composta e definição de raiz quadrada.
Resolução comentada do VaiConcursos.